第五章 关系数据理论
1. 在关系模式R（D，E，G）中，存在函数依赖关系{E→D，（D，G）→E}，则候选码是__________，关系模式R（D，E，G）属于____________。
正确答案: （E，G），（D，G） 3NF
2. 理解并给出下列术语的定义： 函数依赖、部分函数依赖、完全函数依赖、传递依赖、候选码、主码、 外码、全码(All-key)、1NF、2NF、3NF、BCNF、多值依赖、4NF。
正确答案: 函数依赖：设R (U)是一个关系模式，U是R的属性集合，X和Y是U的子集。对于R (U)的任意一个可能的关系r，如果r中不存在两个元组，它们在X上的属性值相同， 而在Y上的属性值不同， 则称“X函数确定Y"或“Y函数依赖于X"，记作X→Y。
*解析：
1）函数依赖是最基本的一种数据依赖，也是最重要的一种数据依赖。
2）函数依赖是属性之间的一种联系，体现在属性值是否相等。由上面的定义可以知道，如果X→Y，则r中任意两个元组，若它们在X上的属性值相同，那么在Y上的属性值一定也相同。
3）我们要从属性间实际存在的语义来确定他们之间的函数依赖，即函数依赖反映了（描述了）现实世界的一种语义。
4）函数依赖不是指关系模式R的在某个时刻的关系（值）满足的约束条件，而是指R任何时刻的一切关系均要满足的约束条件。
答：
完全函数依赖、部分函数依赖：在R（U）中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X，都有X′→Y，则称Y对X完全函数依赖，记作：
若X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y对X部分函数依赖，记作：
传递依赖：在R（U）中，如果X →Y，（Y X），Y →X，Y→Z，则称Z对X传递函数依赖。
候选码、主码： 设K为R
3. 在关系模式R（A，C，D）中，存在函数依赖关系{ A→C，A→D }，则候选码是___________ ，关系模式R（A，C，D）最高可以达到_____________ 。
正确答案: A BCNF
4.试由Armostrong公理系统推导出下面三条推理规则： (1) 合并规则：若X→Z，X→Y，则有X→YZ (2) 伪传递规则：由X→Y，WY→Z有XW→Z (3) 分解规则：X→Y，Z Y，有X→Z
正确答案: （1） 已知X→Z，由增广律知XY→YZ，又因为X→Y，可得XX→XY→YZ，最后根据传递律得X→YZ。 （2） 已知X→Y，据增广律得XW→WY，因为WY→Z，所以XW→WY→Z，通过传递律可知XW→Z。 （3） 已知Z Y，根据自反律知Y→Z，又因为X→Y，所以由传递律可得X→Z。
5.关于多值依赖的另一种定义是： 给定一个关系模式R（X，Y，Z），其中X，Y，Z可以是属性或属性组合。 设x∈X，y∈Y，z∈Z，xz在R中的像集为： Yx z = {r.Y | r.X=x ∧ r.Z = z ∧ rR} 定义 R（X，Y，Z）当且仅当Yxz =Yxz′对于每一组（x，z，z′）都成立，则Y对X多值依赖，记作X→→Y。这里，允许Z为空集，在Z为空集时，称为平凡的多值依赖。 请证明这里的定义和《概论》5.2.7节中定义5.9是等价的。
正确答案: 设Yxz=Yxz’对于每一组（x，z，z′）都成立，现证其能推出定义5.9的条件： 设s、t是关系r中的两个元组，s[X]= t[X]，由新定义的条件知对于每一个z值，都对应相同的一组y值。这样一来，对相同的x值，交换y值后所得的元组仍然属于关系r，即定义5.9的条件成立； 如果定义5.9的条件成立，则对相同的x值，交换y值后所得的元组仍然属于关系r，由于任意性及其对称性，可知每个z值对应相同的一组y值，所以Yxz=Yxz’对于每一组（x，z，z′）都成立。 综上可知，新定义和定义5.9的条件是等价的，所以新定义和定义5.9是等价的。
6.试举出三个多值依赖的实例。
正确答案: （1） 关系模式MSC（M，S，C）中，M表示专业，S表示学生，C表示该专业的必修课。假设每个专业有多个学生，有一组必修课。设同专业内所有学生的选修的必修课相同，实例关系如下。按照语义对于M的每一个值M i，S有一个完整的集合与之对应而不问C取何值，所以M→→S。由于C与S的完全对称性，必然有M→→C成立。 （2） 关系模式ISA（I，S，A）中，I表示学生兴趣小组，S表示学生，A表示某兴趣小组的活动项目。假设每个兴趣小组有多个学生，有若干活动项目。每个学生必须参加所 在兴趣小组的所有活动项目，每个活动项目要求该兴趣小组的所有学生参加。 按照语义有I→→S，I→→A成立。 （3） 关系模式RDP（R，D，P）中，R表示医院的病房，D表示责任医务人员，P表示病人。假设每个病房住有多个病人，有多个责任医务人员负责医治和护理该病房的所有病人。按照语义有R→→D，R→→P成立。
7.试证明《概论》上给出的关于FD和MVD公理系统的A4，A6和A8。
正确答案: A4：若X→→Y，VWU，则XW→→YV 设Z=U-X-Y 已知X→→Y，设r是R上的任一关系，s、t∈r，且t[X]=s[X]，则存在元组p、q∈r，使p[X]=q[X]=t[X]，而p[Y]=t[Y]，p[Z]=s[Z]，q[Y]=s[Y]，q[Z]=t[Z]。 设t[XW]=s[XW]，我们以上构造的元组p和q，是某部分属性在s和t上翻转而成，所以p[W]=q[W]，可知p[XW]=q[XW]，同理p[YV]=t[YV]（由VW知t[V]=s[V]），q[YV]=s[YV]，p[U-YV-XW]=s[U-YV-XW](因为U-YV-XWZ)，q[U-YV-XW]=t[U-YV-XW]。所以XW→→YV。 A6：若X→→Y，Y→→Z则X→→Z-Y 由Y→→Z容易证得Y→→Z-Y。 设R1=U－X－Y，R2=U－Y－Z，R3=U-X-Z+Y。 已知X→→Y，设r是R上的任一关系，s、t∈r，且t[X]=s[X]，则存在元组p、q∈r，使p[X]=q[X]=t[X]，而p[Y]=t[Y]，p[Ｒ１]=s[Ｒ１]，q[Y]=s[Y]，q[Ｒ１]=t[Ｒ１]。 对元组ｔ、ｐ，已知ｔ[Y]=p[Y]，t[X]=p[X]，由Y→→Z-Y知：存在元组m∈r，使m[Z-Y]=p[Z-Y]，m[R2]=t[R2]。因为（Z-Y）R1，又p[R1]=s[R1]，所以m[Z-Y]=s[Z-Y]。因为元组p和s在除属性Y之外的属性上值相等，所以m[R2]=t[R2]，另外元组m是由元组t和p交换某些属性上的值而产生的，而t和p在属性X上值相等，显然m[X]=t[X]，所以m[U-（Z-Y）]=t[U-（Z-Y）]，即m[R3]=t[R3]。 对元组s、q，同理可知s[Y]=q[Y]，存在元组n，使n[Z-Y]=t[Z-Y]，即n[R3]=s[R3]。 综上所述，对t、s∈r，t[X]=s[X]，存在元组m、n∈r，使m[X]=n[X]=t[X]，而m[Z-Y]=s[Z-Y]，m[R3]=t[R3]，n[Z-Y]=t[Z-Y]，n[R3]=s[R3]。 A8：若X→→Y，W→Z，W∩Y=Φ，ZY，则X→Z。 设r是R上的任一关系，对任意s、t∈r，若t[X]=s[X]，设R1=U-X-Y，则根据X→→Y知：存在元组p、q∈r，使p[X]=q[X]=t[X]，而p[Y]=t[Y]，p[Ｒ１]=s[Ｒ１]，q[Y]=s[Y]，q[Ｒ１]=t[Ｒ１]。因为W∩Y=Φ，所以s[W]=p[W]，又W→Z，所以s[Z]=p[Z]；因为ZY，且p[Y]=t[Y]，所以p[Z]=t[Z]；所以可得t[Z]=s[Z]，即X→Z。
8.设关系模式为R（U，F），X，Y为属性集，X，YU。证明: （1）XXF+ （2）（XF+）F+=XF+ （3）若XY则XF+YF+ （4）UF+=U
正确答案: （1）因为X→X 所以XXF+ （根据XF+的定义） （2） *解析 1 要证明（XF+）F+=XF+ 只要证明 XF+ （XF+）F+ 并且（XF+）F+ XF+ 而XF+ （XF+）F+ 是显然的，因此只要证明（XF+）F+ XF+ 2 这里的证明要用集合论的基本知识，同学们应该复习一下有关集合论中的有关概念和证明方法。 证明：下面求证（XF+）F+XF+ 任意A∈（XF+）F+，（由题意知）存在B∈XF+，使B→A能由F根据Armstrong公理导出，而从B∈XF+ 可知X→B能由F根据Armstrong公理导出，根据公理中的传递律可知X→A能由F根据Armstrong公理导出，所以A∈XF+，因此（XF+）F+ XF+。 所以（XF+）F+=XF+。 （3）对任意A∈XF+ ，可知X→A能由F根据Armstrong公理导出，因为XY，由自反律可以得Y→X，由传递律得Y→A，所以A∈YF+ 。 XF+YF+ 得证。 （4） *解析 要证明UF+=U 只要证明 U UF+ 并且 UF+ U U UF+ 是显然的； 下面证明UF+ U，即证U由F据Armstrong公理推出的集合仍属于U： 自反律：Y U，U→Y为F所蕴含。显然U由F据Armstrong公理的自反律推出的Y仍属于U； 增广律：U→Y为F所蕴含，且ZU，则U Z→YZ为F所蕴含，YZU。 传递律：U→Y 和Y→Z都为F所蕴含，则U→Z为F所蕴含。ZU。
9.设关系模式为R（U，F），若XF+=X，则称X相对于F是饱和的。 定义饱和集F={X | X=XF+}， 试证明F = {XF+ | XU }。
正确答案: 证：1）证 F {XF+|XU} 对任意A∈F ，由已知条件得A=AF+ ，因为AU，A=AF+ 所以A∈{XF+|XU}。 2）证 {XF+| XU} F 对任意A∈{AF+|AU}，因为（AF+）F+ = AF+（见习题7），令B=AF+，有BF+ =B 所以 B∈F 即AF+∈F ，A∈F 得证。
10. 在一个关系R中，若每个数据项都是不可再分割的，那么R一定属于__________ 。
正确答案: 第一范式(1NF)
11. 若关系为1NF，且它的每一非主属性都__________ 候选码，则该关系为2NF。
正确答案: 完全函数依赖于
12. 如果X→Y和X→Z成立，那么X→YZ也成立，这个推理规则称为___________ 。
正确答案: 合并规则
13. 如果关系模式R是第二范式，且每个非主属性都不传递依赖于R的候选码，则称R为________ 关系模式。
正确答案: 3NF
14. 在函数依赖中，平凡函数依赖是可以根据Armstrong推理规则中的__________ 律推出的。
正确答案: 自反
15. 关系模式规范化需要考虑数据间的依赖关系，人们已经提出了多种类型的数据依赖，其中最重要的是_____________和___________。
正确答案: 函数依赖 多值依赖
16. 设关系R（U），X，Y∈U，X→Y是R的一个函数依赖，如果存在X′∈X，使X′→Y成立，则称函数依赖X→Y是___________ 函数依赖。
正确答案: 部分
17. 在关系模式R（A，B，C，D）中，存在函数依赖关系{A→B，A→C，A→D，（B，C）→A}，则候选码是___________，关系模式R（A，B，C，D）属于____________ 。
正确答案: A，（B，C） 2NF